Two balls and the colour-blind friend[edit]
Imagine your friend is red-green colour-blind (while you are not) and you have two balls: one red and one green, but otherwise identical. To your friend they seem completely identical and he is skeptical that they are actually distinguishable. You want to prove to him they are in fact differently-coloured, but nothing else; in particular, you do not want to reveal which one is the red and which is the green ball.
Here is the proof system. You give the two balls to your friend and he puts them behind his back. Next, he takes one of the balls and brings it out from behind his back and displays it. He then places it behind his back again and then chooses to reveal just one of the two balls, picking one of the two at random with equal probability. He will ask you, "Did I switch the ball?" This whole procedure is then repeated as often as necessary.
By looking at their colours, you can, of course, say with certainty whether or not he switched them. On the other hand, if they were the same colour and hence indistinguishable, there is no way you could guess correctly with probability higher than 50%.
Since the probability that you would have randomly succeeded at identifying each switch/non-switch is 50%, the probability of having randomly succeeded at all switch/non-switches approaches zero ("soundness"). If you and your friend repeat this "proof" multiple times (e.g. 20 times), your friend should become convinced ("completeness") that the balls are indeed differently coloured.
The above proof is zero-knowledge because your friend never learns which ball is green and which is red; indeed, he gains no knowledge about how to distinguish the balls.[5]
-=-=-=
כבר התבאר תכלית הבאות שהאדם - מדיני בטבע ושטבעו - שיהיה מתקבץ ואינו כשאר בעלי החיים אשר אין לו הכרח להתקבץ.
ולרוב ההרכבה בזה המין - מפני שהוא המורכב האחרון כמו שידעת - היה ההבדל רב בין אישיו עד שאפשר שלא תמצא שני אנשים מסכימים במין ממיני המידות כמו שלא תראה צורותיהם הנראות - שוות. ועילת זה - התחלף המזג ויתחלפו החמרים ויתחלפו גם כן המקרים הנמשכים אחר הצורה - כי לכל צורה טבעית קצת מקרים מיוחדים נמשכים אחריה בלתי המקרים הנמשכים אחר החומר. ואין כיוצא בזה ההתחלפות האישי הגדול נמצא באחד ממיני בעלי החיים; אבל ההתחלפות בין אישי כל מין מתקרב מלבד האדם. שאתה תמצא שני אישים ממנו - כאילו הם משני מינים בכל מידה - עד שתמצא אכזריות איש תגיע עד שישחט צעיר בניו מרוב הכעס ואחר יחמול על הריגת כינה או תולעת אחת וירך לבו מזה; וכן ברוב המקרים:
ומפני שטבעו נותן שיהיה בין אישיו זה החילוף וטבעו צריך אל הקיבוץ צורך הכרחי - אי אפשר בשום פנים שישלם קיבוצו אלא במנהיג בהכרח ישער פעולותיהם וימלא המחסר וימעיט מן המרבה ויחזוק פעולות ומדות ויעשום כולם על חק אחד תמיד עד שיעלם ההתחלפות הטבעי ברוב ההסכמה ההנחיית ויסודר הקיבוץ:
ולזה אומר שהתורה אף על פי שאינה טבעית יש לה מבוא בענין הטבעי. והיה מחכמת האלוה בהעמיד זה המין - למה שרצה מציאותו - ששם בטבעו שיהיה לאישיו כח הנהגה. ומהם - מי שיהיה הוא עצמו אשר ניבא בהנהגה ההיא והוא הנביא או מניח הנימוס; ומהם - מי שיהיה לו כח לחייב לעשות מה שצוה הנביא ההוא ולהמשך אחריו ולהוציאו לפועל והם - המלך הלוקח הנימוס ההוא והמתפאר בנבואה הלוקח מתורת הנביא אם כולה או מקצתה - יהיה לקיחתו הקצת והניח הקצת אם בעבור שזה היה יותר קל עליו או בעבור שיביא לחשוב שאלו הענינים באו לו בנבואה ואינו נמשך בהם אחר זולתו - על צד הקנאה.
כי יש מבני אדם מי שייטב בעיניו שלמות אחד ויערב לו ויתאוהו וירצה שידמו בני אדם שאצלו השלמות ההוא - ואף על פי שהוא ידע שאין אצלו שלמות - כמו שתראה רבים יתפארו בשיר זולתם ויאמרו שהם עשאוהו; וכן נעשה בקצת חיבורי אנשי החכמה ובחלקי חכמות רבות יפול ליד איש מקנה מתרשל דבר חידשו זולתו ויתפאר שהוא חידשהו. כן קרה בזה השלמות של נבואה גם כן שאנחנו נמצא אנשים התפארו בנבואה ואמרו מה שלא באה נבואה בו מאת האלוה כלל כצדקיה בן כנענה; ונמצא אנשים התפארו בנבואה ואמרו דברים אמרם האלוה בלא ספק - רצוני לומר שהם באו בנבואה אבל לזולתם - כחנניה בן עזור ואמרו שהם נבאום ושתום עדים:
וידיעת זה כולו והכרתו מבוארת מאד. ואני אבאר לך זה עד שלא יסופק עליך הענין ויהיה אצלך הבדל תכיר בו בין הנהגות הנימוסים המונחים ובין הנהגות התורה האלוקית ובין הנהגות מי שיקח דבר ממאמרי הנביאים ויתפאר בו ויאמר שהוא אמרו.
אמנם הנימוסים אשר גילו מניחיהם שהם נימוסים הניחום ממחשבתם - לא יצטרך על זה ראיה עם הודאת בעל הריב לא יצטרך לעדים. ואמנם ארצה להודיעך ההנהגות אשר יאמר בהם שהם נבואיות כי יש מהם נבואיות אמיתיות - רצוני לומר אלוקיות - ויש מהם נימוסיות ומהם שיאמר אומרם שהוא אמרם מלבו ולקחם מזולתו:
כי כשתמצא תורה שכל כוונתה וכל כונת נותנה אשר שיער פעולותיה אמנם היא - סדר המדינה ועניניה ולהסיר העול והחמס ממנה ולא יהיה בה הבטה בשום פנים לענינים עיוניים ולא השגחה להשלים הכח הדברי ולא ירגישו בה על היות הדעות בריאות או עלולות אבל הכונה כולה - סידור עניני בני אדם קצתם עם קצתם באי זה פנים שיהיה ושיגיע להם קצת הצלחה כפי דעת ראה אותו הראש ההוא - דע כי התורה ההיא - נימוסית ומניחה - כמו שזכרנו מאנשי הכת השלישית - רצוני לומר השלמים בכח המדמה לבד:
וכשתמצא תורה שכל הנהגותיה מעינים במה שקדם מתיקון הענינים הגופיים ובתיקון האמונה גם כן ותשים כוונתה - לתת דעות אמיתיות באלוה ית' תחילה ובמלאכים ותשתדל לחכם בני אדם ולהבינם ולהעירם עד שידעו המציאות כולו על תכונת האמת - תדע שזאת ההנהגה מאתו ית' ושהתורה ההיא אלוקית:
ונשאר שתדע אם אומרה הוא השלם אשר נאמרה לו בנבואה או הוא איש מתפאר במאמרים ההם וגנבם מאחרים. ואופן בחינתו הוא - בחינת שלמות האיש ההוא לחקור ולדעת פעולותיו ולהסתכל במידותיו. והגדול שבמופתיך - הנחת התענוגים הגופיים ובזותם - שזאת תחילת מדרגות אנשי החכמה - כל שכן הנביאים - וכל שכן החוש אשר הוא חרפה לנו כמו שזכר אריסטו - וכל שכן מיאוס המשגל ממנו. ולזה עבר ופירסם האלוה בו כל מתפאר בנבואה כדי שיתבאר האמת למאמתים ולא יתעו ולא יטעו. והלא תראה צדקיה בן מעשיה ואחאב בן קוליה איך התפארו בנבואה ונמשכו אחריה בני אדם ואמרו דברי נבואה שאמרום זולתם והתמידו בפחיתות תענוג המשגל עד שזנו בנשי חבריהם והנמשכים אחריהם עד שפרסמם אלוה כמו שעבר ופרסם זולתם ושרפם 'מלך בבל' כמו שבאר ירמיה ואמר "ולוקח מהם קללה לכל גלות יהודה אשר בבבל לאמר ישימך יי כצדקיהו וכאחב אשר קלם מלך בבל באש יען אשר עשו נבלה בישראל וינאפו את נשי רעיהם וידברו דבר בשמי - שקר אשר לא צויתם ואנוכי היודע ועד - נאום יי". - והבן זאת הכונה:
